《微积分Ⅰ（二）》教学大纲

总学时：80      理论课学时：80    学分：5学分

一、课程的性质：必修
二、课程的目的与教学基本要求
　 通过本课程的学习，使学生获得多元函数微积分、无穷级数与常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能。在传授知识的同时，在教学中注意培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，特别是综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
三、课程适用专业 ：电子信息类、机械类、土木交通类、电类、自动化类、计算机类、经济管理类(理科生)等学科各专业。
四、课程的教学内容、要求与学时分配
（一）一元函数微分学
教学内容：多元函数基本概念，偏导数，全微分，多元复合函数求导法则，隐函数求导公式，多元函数微分学的应用方向导数和梯度，多元函数极值及求法。
教学的难点和重点：偏导数的定义，全微分，方向导数，梯度。     
基本要求：
1. 理解点集、邻域、区域及多元函数的概念。
2. 理解二元函数的极限和连续的概念，知道有界闭区域上连续函数的性质。
3. 理解偏导数和全微分的概念，掌握全微分存在的充分条件和必要条件，理解方向导数和梯度的概念，知道梯度的应用。
4. 熟练掌握复合函数和隐函数的求导法则，掌握求高阶偏导数的方法，掌握方向导数和梯度的求法。
5. 知道二元函数的Taylor公式。
6. 掌握空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的求法。
7. 理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用Lagrange乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。
学时分配：18学时。
（二）多元函数积分学
教学内容：二重积分的概念及性质，二重积分的计算法，三重积分，对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，重积分的应用，Green公式及其应用，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分，Gauss 公式，通量与散度，Stokes公式，环流量与旋度。
教学的难点和重点：各种积分的定义，Green公式，Gauss公式，Stokes公式。
教学基本要求：
1. 理解二重积分、三重积分、两类曲线积分及两类曲面积分的概念和性质。
2. 熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）和三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标和球面坐标）。
3. 知道重积分的一般换元法则，会用一般换元法则计算一些简单的二重积分和三重积分。
4. 熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算法，了解两类曲线积分，两类曲面积分之间的区别和联系。
5. 掌握Green公式，会用Green公式计算平面区域面积和对坐标的曲线积分，掌握平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。   
6. 掌握Gauss公式并会利用它计算曲面积分，了解Stokes公式，并能利用它计算某些曲线积分。
7. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。
8. 知道散度，旋度的概念，并会计算。 
学时分配：28学时。
（三）常微分方程
教学内容：微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程全微分方程，可降阶的高阶微分方程，高阶线性微分方程，常系数齐次线性微分方程，常系数非齐次线性微分方程。
教学的难点和重点：常微分方程的解法。
教学基本要求：
1. 理解微分方程的阶及其解、通解、初始条件和特解等基本概念。
2. 熟练掌握一阶可分离变量方程和线性方程的识别和解法，掌握常数变易法。
3. 掌握一阶齐次方程和Bernoulli方程的识别和解法，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4. 会识别及解全微分方程。
5. 掌握用降阶法求解，y⁽ⁿ⁾=f(x),yⁿ=f(x,y')和yⁿ=f(y,y') 型的方程。
6. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
7. 熟练掌握二阶常系数线性齐次及非齐次微分方程（其中自由项是P_n(x)，Ae^αχ，ACOSβχ+Bsin β以及它们的和与积）的解法，知道高阶常系数线性齐次微分方程的解法。
8. 了解用常数变易法求解二阶线性微分方程的思想。
9. 知道微分方程的幂级数解法。
10. 会用微分方程或方程组解决一些简单的应用问题。
学时分配：16学时。
（四）无穷级数
教学内容：常数项级数的概念和性质，常数项级数审敛法，幂级数审敛法，函数展开成幂级数，函数幂级数展开式的应用，傅里叶级数，一般周期函数的傅里叶级数。
教学的难点和重点：常数项级数审敛法，幂级数，傅里叶级数。
教学基本要求：
1. 理解级数的收敛、发散及收敛级数的和的概念，掌握收敛级数的基本性质，
2. 掌握几何级数、调和级数和P级数的敛散性。
3. 掌握正项级数的比较审敛法及其极限形式，掌握正项级数比值值审敛法和根值审敛法。
4. 掌握交错级数的Leibniz定理，并会估计符合Leibniz定理条件的交错级数的截断误差。
5. 理解无穷级数的绝对收敛和条件收敛的概念，掌握任意项级数的审敛步骤。
6. 理解函数项级数收敛域及和函数的概念。
7. 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求一些幂级数的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
8. 了解函数展开为Taylor级数的充分必要条件。
9. 熟练掌握e^x、sinx 、cosx、ln(1+x)及(1+x)^α的Maclaurin展开式，会用间接法将一些简单函数展成幂级数，会用幂级数进行一些近似计算。
10.理解Fourier级数的概念，了解函数展开为Fourier级数的Dirichlet定理，会将定义在 [-l,l]上的函数展开为Fourier级数，会将[0,l] 上的函数展成正弦级数或余弦级数，知道Fourier级数的复数形式。
学时分配：18学时。
五、教材和主要参考资料
1.《高等数学》（上）（王全迪、郭艾、杨立洪主编，高等教育出版社）
2.《数学分析》（上下）（华东师范大学数学系主编，高等教育出版社）
3. 《高等数学》 李忠等编，北京大学出版社。
六、课程考核方式
平时考核：30%，期末闭卷考试：70%。