《微积分Ⅰ(一)》教学大纲

总学时:80      理论课学时:80    学分:5学分

一、课程的性质:必修
二、课程的目的与教学基本要求
  通过本课程的学习,使学生获得一元函数微积分的基本概念、基本理论和基本运算技能。在传授知识的同时,在教学中注意培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力,特别是综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
三、课程适用专业 :电子信息类、机械类、土木交通类、电类、自动化类、计算机类、经济管理类等(理科生)学科各专业。
四、课程的教学内容、要求与学时分配
(一)极限与连续
  教学内容:映射与函数,数列的极限,函数的极限,无穷小与无穷大,极限运算法则,极限存在准则、两个重要极限,无穷小的比较,函数的连续性与间断点,连续函数的运算与初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。
  教学的难点和重点:极限的定义,重要极限,无穷小的比较。
基本要求:
1. 理解极限的概念,理解极限的 ε-N,ε-δ,ε-X, (包括求渐近线)的方法,会解决应用题中简单的最大值和最小值问题。
2. 掌握极限的性质及四则运算法则。
3. 掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握用两个重要极限以及利用两个重要极限求极限的方法。
4. 理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念,会用等价无穷小替换求极限。
5. 理解函数在一点处连续和间断的概念。
6. 了解初等函数的连续性,掌握讨论连续性的方法,会判别间断点的类型。
7. 理解闭区间上连续函数的性质,会用介值定理讨论方程根的存在性。
学时分配:28学时。
(二)一元函数微分学
 教学内容:导数的概念,函数的求导法则,高阶导数,隐函数的导数,由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率,函数的微分,微分中值定理,洛比达法则,泰勒(Taylor)公式,函数单调性与曲线凹凸性,函数的极值与最大值最小值,函数图形的描绘,曲率。
 教学的难点和重点:导数的定义,函数的微分,微分中值定理。
基本要求:
1. 理解导数和微分的概念及其几何意义,了解函数的可导性和连续性的关系,会求平面曲线的切线方程和法线方程,会用导数描述一些简单的物理量。
2. 熟练掌握导数与微分的运算法则及导数的基本公式,了解一阶微分形式的不变性。
 3. 熟练掌握初等函数的一阶、二阶导数的计算,会求分段函数的导数,会计算常用简单函数的n阶导数,会求函数的微分。
 4. 会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。
 5. 理解并掌握Rolle定理、微分中值定理和Cauchy中值定理的证明及其应用。
 6. 理解函数的极值概念,掌握利用导数求函数的极值,会判断函数的增减性、凸性、求曲线的拐点及函数作图(包括求渐近线)的方法,会解决应用题中简单的最大值和最小值问题。
 7. 熟练掌握利用L′Hospital法则求未定式极限的方法。
8. 理解并会运用Taylor公式以及Taylor中值定理,掌握ex、sinx 、cosx、ln(1+x)及(1+x)α的Maclaurin公式。
学时分配:26学时。
(三)一元函数积分学
教学内容:不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,有理函数的积分,换元积分法,定积分的概念与性质,微积分基本公式,定积分的换元法和分部积分法,反常积分,定积分的应用。
教学的难点和重点:定积分的定义,定积分应用的微元(元素)法。
教学基本要求:
1. 理解原函数、不定积分和定积分的概念及性质,理解并掌握定积分中值定理。
2. 熟练掌握不定积分的基本公式,不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法。
3. 会求简单有理函数、简单三角函数有理式及简单无理函数的积分。
4. 理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理,掌握Newton-Leibniz公式。
5. 熟练掌握用微元法建立一些常见的几何量和物理量的定积分表达式,从而求出这些量的方法。
6. 会用梯形法和抛物线法求定积分的近似值。
7. 理解两类广义积分的概念,会计算一些简单的广义积分。
学时分配:26学时。
五、教材和主要参考资料
1.《高等数学》(上)(王全迪、郭艾、杨立洪主编,高等教育出版社)
2.《数学分析》(上下)(华东师范大学数学系主编,高等教育出版社)
3. 《高等数学》 李忠等编,北京大学出版社。
六、课程考核方式
平时考核:30%,期末闭卷考试:70%。

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