我院动力丢番图逼近与分形结构项目荣获广东省自然科学奖二等奖

近日，广东省人民政府公布2025年度广东省科学技术奖获奖名单，我院教师李兵、武文、熊瑛、吴敏完成的“动力丢番图逼近与分形结构”项目荣获广东省自然科学奖二等奖，华南理工大学为第一完成单位。

一个点按照固定规则不断运动，能否反复接近指定位置？看似破碎的分形，怎样衡量其疏密、判断其异同？围绕这些问题，项目团队及合作者在动力系统、丢番图逼近与分形几何的交叉领域开展持续研究，取得系列成果。

想象一个按固定规则运动的点，需要不断进入指定位置附近的区域。如果这个区域越来越小，它还能反复“命中”吗？这就是动力系统中的“收缩靶问题”（见图1）。它关心的不只是能否靠近目标，还包括能靠多近、命中多少次，以及哪些出发位置或运动规则能让这一切发生。围绕这一问题，项目研究了从非整数进制记数到多维空间中的不同运动模型，在相应条件下给出了判断轨道能否反复命中目标的方法，并估计命中次数。对于符合要求的出发位置或参数，研究还用“分形维数”这把精细的尺子衡量其集合有多大，让通常长度或面积难以区分的集合也能得到定量描述。

 图1  倍增映射的收缩靶问题。左侧逐次显示轨道位置与当次靶区，右侧累积显示前100次迭代的轨道；橙点表示命中。初始点为√2−1，靶心为1/2，半径为1/(4√n)。

 分形的特点，是在越来越小的尺度上仍有丰富细节。仅用一个数衡量它的大小，还不足以看清内部：不同区域的质量分布可能有疏有密。项目针对一类每步构造规则可以变化的分形，在一定条件下描绘了不同疏密区域的“维数图谱”（见图2）。同时，针对一类彼此分离、缩小比例有特定关系的自相似分形，找到了判断其是否属于同一种几何类型的代数准则：能否把两个分形中的点一一配对，并让任意两点间的距离变化始终控制在固定倍数之内。

 图2  Moran分形的逐级生成、质量分布及维数图谱。两种规则交替保留区间两端各1/3或1/4，每步向左、右分别分配75%和25%的质量。暖色表示同一级区间中质量较多，冷色表示较少；右图为无限迭代极限对应的多重分形谱。

简单规则也能带来复杂结构。把每个数字替换成一小段数字，再不断重复，就能生成无限序列。项目发现识别一类特殊序列（apwenian序列）的简便方法，并研究了相关实数能被分数逼近到什么程度，揭示序列组合规则与数论性质之间的联系。

上述5篇代表性论文发表于《Advances in Mathematics》《Journal of the London Mathematical Society》等学术期刊，相关研究得到国家自然科学基金等项目支持。系列成果为理解运动轨迹的长期规律、刻画和区分复杂分形、探索数字序列的性质提供了新的方法，体现了我院在分形几何与动力系统方向的长期积累。