•  副教授

杜晓明

发布时间:2017-12-29文章来源:华南理工大学数学学院浏览次数:6248

杜晓明

个人简历:

  

1999.-2003. 南京大学数学系,数学与应用数学专业,本科

2003.-2009. 北京大学数学科学学院,基础数学专业,博士研究生;导师:姜伯驹院士、王诗宬院士

2009.-2019. 华南理工大学数学系,讲师

2019.-现在  华南理工大学数学学院,副教授


招生方向:基础数学(几何拓扑、几何群论)、应用数学

  

附1:几何拓扑与几何群论简介


几何拓扑


  整个数学,从方法上划分,大致可以分为分析、代数、几何三大块(不过在处理特定的问题时,都是综合运用这三种方法;只要能解决问题,不局限于非要用哪一种方法)。其中几何学主要关心形状,包括大小度量、空间结构等。拓扑学是几何学中的一个重要的分支。

  

  拓扑学是研究一些较深层次不变量的数学方向。譬如:不太考虑物体的大小、距离的远近;而是更关注两块区域是否连通、物体形状能否连续形变、全空间的结构是否相同等等这些更本质的问题。拓扑学主要处理的对象是各种抽象空间,如物理空间、化学分子空间、计算机的抽象概念图空间、代数方程或者微分方程的解空间(从中可以看出拓扑学与其他数学分支如代数几何与泛函分析、乃至拓扑学与其他应用学科或自然学科之间的相互影响)。为了分辨空间的结构与性质,拓扑学创造或者利用了大量的如群、环、纤维丛等工具。

  

  拓扑学从研究工具上划分,大致可分为一般拓扑(或称点集拓扑)、代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑(或称低维拓扑)几大类。点集拓扑偏重逻辑的推演;代数拓扑主要借助同伦群、纤维化、示性类等代数的工具刻画空间的结构;微分拓扑在拓扑空间的基础上添加上光滑结构,用微分的手段(如de-Rham同调、微分形式空间的Hodge分解等)反过来处理拓扑的问题;几何拓扑,又称低维拓扑,主要利用几何结构,处理234维空间中一些更细更精确的结构,如纽结、双曲几何、空间上的动力系统等。虽然拓扑的分支有以上的分类,但在解决实际问题时,也是综合各种方法,很难说以上各个拓扑方向之间有哪些明确的界限。


图1:纽结表上前几个较简单的纽结  


  拓扑学的研究一直处于世界数学发展前沿。数学界的最高奖菲尔兹奖获得者里面,有超过四分之一的工作与拓扑学有关。这些与拓扑学有关的工作里面,年代比较早的多数跟微分拓扑和代数拓扑相关,而年代比较后的多数跟几何拓扑有关。如:

  

   Serre1954,代数拓扑中的同伦群计算)、

   Thom1958,微分拓扑中的配边理论)、

   Milnor1962,微分拓扑中有多种微分结构的7维怪球)、

   Atiyah1966,微分拓扑中的Atiyah-Singer指标定理)、

   Smale1966,微分拓扑中的广义Poincare猜想)、

   Novikov1970、代数拓扑中的示性类不变量)、

   Quillen1978、代数拓扑中的K理论)、

   Thurston1982,几何拓扑中的叶状结构和3维流形分类)、

   Yau(丘成桐)(1982,几何拓扑中的极小曲面问题用分析方法处理)、

   Donaldson1986,微分拓扑中的4维空间怪异微分结构)、

   Freedman1986,几何拓扑中的4Poincare猜想)、

   Jones1990,几何拓扑中的扭结Jones多项式不变量)、

   Witten1990,几何拓扑与数学物理之间的联系)、

   McMullen1998,几何拓扑中的双曲几何)、

   Kontsevich1998,几何拓扑中的扭结分类)、

   Perelman2006,几何拓扑中的3Poincare猜想用分析的方法证明)、

   Mirzakhani2014,几何拓扑中的Riemann曲面模空间)。

  

  几何拓扑中的许多问题,都跟其他主要的数学分支发生密切联系。如扭结论在数学物理的量子场论的发展中起作用、低维流形与代数几何发生联系等。反过来几何拓扑的问题也会用其他数学领域中的工具来处理,如Perelman用几何分析解微分方程的手段解决了3Poincare猜想。



几何群论


  几何群论是目前国际上比较新而又非常活跃的研究领域。它研究无限群在带几何结构的对象上的作用,或者甚至把群本身看作几何的对象来研究,建立起群本身的度量空间与被群作用的空间之间的拟等距,反过来研究群本身的结构。几何群论与低维拓扑、双曲几何、Lie群、齐性空间、代数几何、计算群论、微分几何、动力系统、测度论、泛函分析、数理逻辑、概率论、甚至复杂性理论等数学领域都有紧密的联系。


  图2:自由群的Cayley图在双曲平面的嵌入


图3:双曲平面中(2,3,7)-Coxeter群的作用轨道


  数学界除了菲尔兹奖之外的另一个重要的奖是沃尔夫奖。最近的二三十年里,有不少沃尔夫奖的得奖者在几何群论领域做过十分重要的工作。其中包括:

  

   Gromov1993年沃尔夫奖,提炼出双曲群的概念,几何群论奠基)、

   Tits1993年沃尔夫奖,Lie群的building结构)、

   Margulis1978年菲尔兹奖,2005年沃尔夫奖,研究Lie群中的格点)、

   Sullivan2010年沃尔夫奖,Klein群与复动力系统的联系)、

   Mostow2013年沃尔夫奖,双曲空间离散等距群的刚性)。

  

  另外,几年之前由阿里巴巴创始人马云、facebook创始人扎克伯格、谷歌创始人布林等人赞助成立的科学突破奖(Breakthrough Prizes)数学奖,在2016年颁给了在低维拓扑与几何群论领域作出惊人贡献的Agol

  

  目前,因为几何群论与众多数学分支联系的特点,该方向正在国际上蓬勃发展。漂亮的新工具和新方法不断发明产生。这个崭新的领域,正不断吸引着有志向有天赋的年轻数学家。


附2:招生简介

  本人招生时遵循有教无类的原则:不论学生以前的背景如何,只要你对我的方向有浓厚的兴趣、并且在研究生阶段愿意下苦功花时间钻研,都十分欢迎你来找我讨论。有志同道合者一起研究数学,是非常快乐的事情。不过需要提醒的是,相对其他数学方向,几何拓扑的论文产出较少,同时又有一定的门槛(需要学过抽象代数里群的概念、需要计算许多无限群的例子),因此几何拓扑方向的研究生毕业也有一定难度。

  本人对数学与计算机结合的领域也有浓厚的兴趣,尤其是互联网时代的编程工具结合数学方法的应用。因此也招少量应用数学方向的研究生。


几何拓扑,曲面映射类群,几何群论

科研论文:

  

Xiaoming Du. The Extended Mapping Class Group Can Be Generated by Two Torsions. J. Knot Theory Ramifications, Volume No.26 (2017), Issue No. 11.

Linkhttp://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218216517500614

  

Xiaoming Du. Generating the mapping class groups with torsions. J. Knot Theory Ramifications, Volume 26 (2017), Issue No. 07.

Linkhttp://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218216517500377

  

Xiaoming Du. Non-wandering expanding maps on branched 1-manifolds and Smale-Williams solenoids. Acta Mathematica Sinica (English Series) 30 (2014), no. 6, 1083–1088.

  

Xiaoming Du. On self-mapping degrees of S^3-geometry manifolds. Acta Mathematica Sinica (English Series) 25 (2009), no. 8, 1243–1252. 

  

  

科研项目:

  

国家自然科学基金面上项目 11571246 自由群的几何自同构(参与,到账经费5万),2016.1.-2019.12.

国家自然科学基金面上项目 11471248 三维流形上的Anosov流与双曲块(参与,到账经费5万),2015.1.-2018.12.

国家自然科学基金青年基金 11401219 曲面映射类群Dehn twist之间的关系(主持,到账经费22万),2015.1.-2017.12.

中央高校科研业务面上项目 2014ZM0080 曲面映射类群的生成元与关系(主持),2014.1.-2015.12. 


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