答：

方法一：化第二型曲线积分为定积分。

方法二：利用格林公式化第二型曲线积分为二重积分

方法三：利用斯托克斯公式化第二型曲线积分为第二型曲面积分

方法四：利用第二型曲线积分与路径无关的条件，如果曲线积分与路径无关，选取特殊路径计算第二型曲线积分

例1：求，其中是从点到再到的折线。

解：线段的参数方程为：，从0变到1；线段的参数方程为：，从0变到1。

例2：为椭圆且从轴正方向看去，顺时针。

解：曲线的参数方程为：，从变到0。

。

注：在计算第二类曲线积分题时，其中最关键的是找到积分路径的恰当的参数方程，确定起点和终点对应的参数值。当积分路径不能用同一个参数方程表示时，则可把积分路径分解成若干段来处理，如例1。第二类曲线积分转化成定积分时，下限为起点对应的参数值，上限为终点对应的参数值，所以上限有时可能比下限小，如例2。

例3：计算曲线积分，其中是园并取逆时针方向。

解：设

注：在利用格林公式计算第二型曲线积分时，特别要注意积分路径的方向及在所考虑闭区域的连续可导性。积分路径还要是封闭曲线；如果不是，要添加辅助线构成封闭曲线后才能用公式。

例4：利用斯托克斯公式计算，其中是平面与柱面的交线，若从轴正向看去，取逆时针。

解：曲线围成的曲面为，利用右手准则应取上侧，

注意这里。

注：曲面的选取是不唯一的，只要是以为边，前面的函数在上具有连续的偏导数就可以，但选取不同的化成的第二型曲线积分的计算难易程度不一样。所以在用此种方法计算第二型曲线积分时，值得多花点时间选取一个恰当的以降低计算难度及计算量。

例5：计算曲线积分，其中为沿摆线从点到点的弧。

解：设

因为，所以此曲线积分与路径无关，选取积分曲线为从 ，经过点到点的折线，则有

+

答： 当闭曲线所围成的区域是多连通的时，格林公式还是成立。因此，如果函数P,Q在所考虑的闭区域内只有有限个偏导数不存在的点时，可以把他们挖去。然后对多连通区域运用格林公式。在挖去这些偏导数不存在的点时，挖出的洞的形状是不唯一的，虽然，他们对计算结果没有影响，但是会影响计算的难易程度。因此，针对具体的题目，我们应选取一个恰当的形状来挖掉这些点，以减少计算量。我们来看下面的例子来说明这一点。

例1：计算积分，其中为的正方向。

解：

当时有

1）当时，利用格林公式有

2）当时，在的内部，如右图
方法一、取充分小的正数，用在的椭圆
把点挖掉
利用格林公式有

所以，又因为从变到

方法二、取充分小的正数，用在的圆
把点挖掉
利用格林公式有

所以，又因为从变到

方法三、取充分小的正数，用在的正方形

把点挖掉。利用格林公式有

所以，又因为从变到

从变到；从变到；
从变到

答： 不论是第一型曲面积分还是第二型曲面积分，其基本计算方法都是利用投影法把曲面积分化为二重积分。但是第一型曲面积可以较自由地选取投影坐标面，而第二型曲面积分则不能。因此在用投影法计算第二型曲面积分时，当积分曲面投影到对应坐标面上的区域很难确定或不能确定时，就可考虑把第二型曲线积分化为第一型曲线积分后再计算。

我们来看下面的例子。

例1：计算，其中是锥面被平面所截下的有限部分下侧。

注：此题如果运用第二类曲面积分的基本方法计算非常繁杂，因为，用基本方法做要考虑曲面对三个坐标面的投影，计算量很大，若把它转化为第一类曲面积分，就只须向一个坐标面投影，可大大简化计算。

解：我们考虑把以上曲面积分化为第一类曲面积分，此曲面上一点处的法向量为因为是取下侧，所以轴的坐标应为负值。此法向量的单位向量为。且此曲面在面上的投影为圆盘

答： 在第二型曲面积分转化为第一类曲面积分时，关键是怎样确定指向定向曲面所指定的一侧的法向量，基本方法如下：

1）如果指的是上侧，法向量轴坐标为正，指的是下侧，法向量轴坐标为负；

2）如果指的是右侧，法向量轴坐标为正，指的是左侧，法向量轴坐标为负；

3）如果指的是前侧，法向量轴坐标为正，指的是后侧，法向量轴坐标为负；

例如曲面的解析式为，其法向量为。

如果指的是上侧（此时），对应的法向量为，如果指的是下侧

（此时），对应的法向量为；

如果指的是右侧（此时），对应的法向量为，如果指的是左侧

（此时），对应的法向量为；

如果指的是前侧（此时），对应的法向量为，如果指的是后侧

（此时），对应的法向量为。

最后再把他们化为单位向量。

例1：已知是平面在第一象限的部分并取下侧，求其对应的单位法

向量。

解：其对应法向量为，其中因为是取下侧轴坐标为负。其对应的单位

法向量为。

例2：已知是柱面介于平面之间的部分的外侧，求其对应

的单位法向量。

解：此曲面必须分成两块来处理，一块的解析式为并取右侧；一块的解

析式为并取左侧。他们分别对应的单位法向量为

答： 被积函数的值是取于曲线上。，所以，曲线积分的值，取决于被积函数与给定的曲线。

答： 第一型曲线积分中是弧长，因此在计算中要保证其非负性，这体现在将其化成定积分，在确定积分限时，应使上限不小于下限；

答： 通常第二型曲线积分以组合积分形式出现：

，

这也可以视为向量函数的曲线积分，表示成简洁的向量点积形式：

答： 定义完全类似于平面第二型曲线积分，设有向量函数

及空间曲线对应的弧微分向量

则

答： 也表示曲线上的点集，点。

定义如果，，:,,有则称二元函数在曲线上点连续。

函数在曲线上点连续的另一种形式是：

，.

，在复连通区域D内连续，且

但是，，其中C是包含原点的一条光滑封闭曲线。

事实上，取C是单位圆：，，，有

答： 格林公式是平面曲线积分中的一个重要公式，它将闭路径的曲线积分与相应的一个二重积分联系起来。格林公式的实质是将二元函数偏导数在上的二重积分化成在的边界上的曲线积分，即。

答： 1）公式使用的条件是的偏导数在中连续，不满足该条件的不能使用此公式。

2）看一下书上的证明过程，可以看到

这实质上就是一元函数的牛顿－莱布尼兹公式，因为这里的是固定的“常数”。

3）为了便于记忆格林公式，并与以后的Stokes公式统一，可将其用行列式形式表示成

答： 有。曲线积分的中值定理是：

若函数在有界闭的曲线段（二点A与B也属于C）上连续，则在曲线上至少存在一点，使其中表示曲线的长。