答：

在平面区域中，有两类特殊的区域是最具代表性的。

X型区域指区域用集合可表示为：

其特点是，则直线至多与区域的边界交于两点；

Y型区域指区域用集合可表示为：

其特点是，则直线至多与区域的边界交于两点。

答：

方法是化二重积分为二次积分（累次积分）：

，；

答：

例1：求，?其中是一以为顶点的三角形区域。

解：因为不能用初等函数表示，所以必须先关于变量积分：

。

例2：求。

解：因为不能用初等函数表示，所以必须先改变积分次序：

。

例3：求，其中是由所围的闭区域。

解：因为关于的积分计算较麻烦，所以先关于积分：

答：

I==

I。

例；写出积分的极坐标二次积分形式，积分区域为；

。

答：

当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为时，采用极坐标来计算往往简便得多。

值得注意的是，有时需要同时考虑积分区域和被积函数，例如，。积分区域为扇形，若单从积分区域考虑，应该选用极坐标系，但计算很繁；此题选用直角坐标系来计算很简单。这时

=

答：

当积分区域与被积函数都有某种对称性，像定积分一样，正确应用对称性将简化积分。

（1）若关于轴对称，记轴上方部分区域为，则

若关于为奇函数，那么；

若关于为偶函数，那么。

（2）若关于轴对称，记轴右方部分区域为，则

若关于为奇函数，那么；

答：

，其中。

答：

（1）将三重积分化为一个定积分接一个二重积分（投影法）：

设是一个双曲顶柱体，其底面方程是，顶面方程是，它在平面的投影区域为，

即，则

。

例 计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。

解：如图

。

（2）将三重积分化为一个二重积分接一个定积分（截面法）：

把积分区域向某轴（例如轴）投影，得投影区间；

对用过轴且平行平面的平面去截，得截面，

则，。

例 计算三重积分，其中是由椭球面所成的空间闭区域。

解：如图

原式?，因为 所以，原式。

答：柱面坐标系下三重积分计算法本质上就是直角坐标系下的投影法，当完成定积分后，将余下的二重积分化为极坐标系下的二重积分。

当积分区域由球面（或是球面的部分）和圆锥面所围，或被积函数的形式为时，采用球面坐标来计算往往简便得多。

例4 求曲面与所围成的立体体积。

解：

由三重积分的性质知

答：

曲线积分的被积函数定义在曲线上，各变量不是独立的，它们受曲线的方程约束，故实际上是一元函数。