| 问题1:多元函数的极限与一元函数极限的定义有何不同？ |
答： 多元函数的比一元复杂，定义上看起来类似，但有本质的区别。一元函数在一维直线上定义，或左或右趋近方式只有两个方向，多元函数要点
以“任意方式”趋向于点
。这里的“任意方式”不仅包括任意方向，还包括任何路径。
问题2:
使得在函数
的定义域内满足
，
的一切均有
成立，则
，对吗？
答： 不对，原因是这里不只是去心，而且去了两条直线
和
上的点。如果改为：使得在函数的定义域内满足
，
，且
的一切均有成立，则。那么就等价了。
问题3:关于二重极限的定义有下列两种典型的不同说法，试分析比较它们之间的差异何在？
定义1 设函数 z=f(x,y)在点
的某一邻域内有定义（点 P0可以除外）。如果对于每一个任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于适合不等式
的一切点 P(x,y)，所对应的函数值 f(x,y) 都满足不等式
。
那末，常数A就称为函数
当
，
时的极限。
定义2 设函数 z=f(x,y) 在点 P0的任一邻域中，有不属于函数定义域D的点，但又总有异于 P0 的属于D的点（即点 P0是D的聚点）。如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对D内适合不等式
的一切点 P(x,y)，所对应的函数值f(x,y)都满足不等式。那末，常数A就称为函数当，时的极限。
答：
这两种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同。前者要求在点的某一个去心邻域内都有定义，而后者允许在点的任一去心邻域内都有使无定义的点。相应地，定义1要求
的去心邻域内的P都适合
，而定义2只要求上述邻域内使有定义的点P适合。可见，定义1对函数的要求高，因而使一些极限无法讨论，限制了极限的应用。而定义2放宽了对函数的要求，从而使极限概念更便于应用。
这种概念上的差异，也导致计算上的差异。
例1、计算二重极限
解：依定义1，此极限无意义，因在点（0，0）的任意
邻域内，总存在点
、
、
、
，使
无定义，当然在这些点不等式就没有意义。
但根据定义2（允许不考虑Ox轴、Oy轴上的点）有
。
这是因为
，而当
时，
。
例2、计算极限
解：依定义1，此极限无意义，依定义2可以不考虑Oy轴上
的点。通常可见到如下解法：
。
（*）处的等号两边的两个极限并不等同，左端极限允许不考虑Oy轴上的点，但却未允许不考虑Ox轴上
的点；而右端极限却允许不考虑Ox轴上的点，因此等式右边等于0不能导出等式左边也等于0。
正确的解法是：对一切
的点
。
任给
，存在
，则当
，且时，必有
。问题4:如果
，其中
为与θ无关的常数，是否必有？
不是，而且通常情况下没有这个结论。例如极限
不存在只要用
验证即得。但若用代换：
，则有
，这里错在第一个等号没有考虑到时
时的情况。
沿着任一直线无限趋近于点（0，0）时，函数的极限存在且都等于A，能否说函数当
时二重极限也等于A？答： 不能。例如函数
。
当动点沿着y轴无限趋近于点（0，0）时，有
。
且当动点沿着任意一条直线
（k为任意实数）无限趋近于点（0，0）时，都有
。
但是，当动点沿抛物线
无限趋近于点（0，0）时，有
。
所以，函数
当时，极限不存在。
的去心邻域内，动点趋向于
的方式是任意的。尽管动点沿着任一直线无限趋近点时，的极限存在且都等于A，但毕竟只是沿着直线，从而无法肯定当
时的二重极限是否存在，更不能说二重极限是A。与
是否一样？答：不一样。前一极限为二重极限，两个自变量是独立的没有先后次序的变化的。后一极限是累次极限的二次极限，它本质上属于一元函数极限的范畴。需要指出的是：如果二重极限和累次极限都存在，那么它们一定相等的。
问题7：判定二重极限不存在，有哪些常用方法？
答：
依二重极限的定义，
存在，要求点
以任何方式趋向于点时，有相同的极限。因此判定二重极限不存在，常用方法有如下两种：
1、选取一种
的方式，记为
，其中C为在函数定义域内的以为聚点的一个点集，例如通过的一条曲线。按此方式，极限
不存在。
2、找出两种方式：
与
，使
，
，
且
，则二重极限不存在。
例1、讨论极限
。
解：因
不存在。
故原极限不存在。
例2、讨论极限
。
解：因为
，其值因k而异，故原极限不存在。
例3、讨论极限
解：因为
，
。
的二重极限有哪些常用的方法？答：
由于二重极限定义中动点趋向于点的方式是任意的，因而平面上的点P趋向于P0的方式可有无穷多，比起一元函数的极限只有左、右两个单侧极限来说，要复杂得多。
求函数的二重极限常用的方法有：
（1）利用连续的定义及初等函数的连续性。如果是的连续点，那末便有
。
（2）利用极限的性质（如四则运算，夹逼定理）。
（3）先用观察的方法，猜测数A可能是函数的极限，然后用二重极限定义去验证。
（4）消去分子分母中极限为零的因子。
（5）转化成一元函数的极限问题，利用一元函数中的已知极限。问题9：我们把先后两次求出的极限
或
（1）称为二次极限（也称累次极限），它们与二重极限
（2）是否为一回事？
答： 不是一回事.二重极限（2）是点以任意方式趋于时二元函数的极限；而累次极限（1）是点沿特殊方式——折线
和
（或
和
）趋于时两个一元函数的极限（读者自绘草图帮助理解），而且这是不一样的两回事，并不是一般与特殊的关系（折线上的点可能位于邻域之外）.例如，
例1、设
，其两个累次极限
；
但令，即点沿任意直线而趋于原点（0，0）时，
，
它随k取不同的值，可见上述二重极限不存在；
例2、设
，则因为
，
∴
，
但
不存在，而
，从而累次极限
不存在.同理另一个累次极限也不存在.
由上述可见，二重极限与二次极限没有必然的关系，即使两个累次极限都存在且相等也不能保证二重极限存在，反之亦然，一般而言，求累次极限容易一些，可借用一元函数求极限的各种方法，但这代替不了二重极限.
它们之间的关系表现在：当在点的二重极限与某二次极限都存在时，则它们必相等.由此还可推出：若两个二次极限都存在但不相等，则二重极限必定不存在.
在
处连续、
在
处连续，能否保证二元函数在点处连续？反之如何？为什么？
，
；
这两个一元函数连续的等式不能保证二元函数连续的下述等式成立：
即是说，二元函数连续的定义是建立在二重极限的基础之上，因此，对每一个变量连续只相当于一种特定方式的极限存在（如对
连续，相当于
），它不能代替所有的方式下极限都存在。因此，我们不能从分别对每个变量与
都连续而得出一定是连续的结论。
例1、设
，则易见
.
但在（0，0）处的二重极限不存在，从而此二元函数在点（0，0）不连续.
反之则成立.这是一般与特殊的关系.事实上，在
中取特殊方式或
，易知：
和.答： 对一元函数来说，可导必连续。但在多元函数中，这一重要关系不再保持，连续与可导之间没有必然的联系。也就是说连续未必可导；可导也未必连续。
例如，函数
在点（0，0）处连续，但它在点（0，0）处的两个偏导数都不存在。而函数
在点（0，0）处有
，即函数在点（0，0）处两个偏导数存在。但是，当动点沿着直线
趋近于原点时，
；而沿着直线
时，却是
可见函数在点（0，0）处的极限不存在，从而函数在点（0，0）处也就不连续。答：
可微必连续，但反之不真。
可微必连续，教材中已有证明。反之不真，举例说明如下：
函数
在点（0，0）处是连续的，因为当
时，有
故有
又在点（0，0）处可导，且
，但在点（0，0）处是不可微的，因为
＝
＝
在点（0，0）处连续且可导，但却不可微的例子。