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问题1:什么是常微分方程的解、通解、特解? |
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答: (1)满足微分方程的函数,称为该方程的解; (2)对 (3)对于 这样的定解条件称为初值条件(initial condition),上述问题就称为初值问题.或者Cauchy问题; 满足微分方程, 并且适合定解条件的解称为微分方程的特解。 |
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问题2:满足什么条件时常微分方程的解一定存在? |
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答: 微分方程的存在唯一性定理: 对一阶初值问题:![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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问题3:一阶可积微分方程有几种类型? |
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答:
(1)可分离变量型:形如 例1:解方程 解:将方程化为 积分得到通解 (2)可化为可分离变量型的方程 I.齐次方程:
将这类方程化成了可变量分离的方程。 例2:求此曲线 解:
即 这是抛物线。 II. III. (3)一阶线性微分方程 常数变易法:先求解
解得
例3:解方程 解:先求解 (4)贝努利方程 两边同乘
(5)全微分方程 其中 则称该方程是全微分方程。 例4:解方程 解:是一个全微分方程.下面用三种方法求解这个方程. 解法1:线积分法。 解法2:凑全微分法,将方程中各项重新组合为
即 ![]() ![]() |
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问题4:高阶可降阶类型微分方程有几种类型? |
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答: 一般情况下,求解高阶方程更加困难.处理高阶方程的思路之一是设法降低方程的阶.在这里,仅讨论二阶方程 的几种右端函缺缺变量的情形进行讨论. (1) 令 这是一阶方程,有可能求解。 例1:解方程 解:令 由此解出 (2) 令 代入方程得 于是得到一个关于未知函数 例2:解方程 解:令
两端积分得到 分离变量,将上式改写成 ![]() |
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问题5:线性方程的解具有怎样的结构? |
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答:
其中
为简便计,记: 这样
(1)若 函数 (2)方程 (3)非齐次方程 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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问题6:怎样求解高阶齐次线性微分方程? |
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答: 观察待定法。 设有二阶齐次方程: 若己知二阶齐次方程 例: 解:可观察出一个解: 利用侍定函数法求第二个特解(变动任意常数法): 解是![]()
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